La distribución exponencial

Puede ser usada para responder a:

• ¿Cuanto tiempo debemos esperar antes de que entre un cliente en la tienda?
• ¿Cuanto tiempo pasará antes de que la centralita reciba una nueva llamada?.

El tiempo de espera es la respuesta común a esas preguntas

Todo fenómeno que implique tiempo de espera desconocido puede ser modelado mediante la distribución exponencial siempre que la probabilidad de ocurrencia durante el intervalo sea proporcional a la longitud del intervalo.

La función de probabilidad (PDF - Probability Density Function) de una distribución exponencial es

$$f(x;\lambda)= \lambda e^{- \lambda x}$$

Donde $x$ es exactamente el tiempo tiempo de espera, por ejemplo, 2 años o 10 segundos.

El parámetro $\lambda$ se llama tasa o régimen (en. rate) en las mismas unidades de tiempo que el tiempo de espera.

La tasa $\lambda$ es la inversa de la duración esperada $\mu$.

$$E[X]=\mu=\frac{1}{\lambda}$$

Por ejemplo, si la tasa $\lambda$ es de cinco eventos por minuto, entonces la duración esperada de cada evento será de $\mu=\frac{1}{5}=0.2$ minutos por evento.

Observamos que la duración esperada (o esperanza o media) se mide siempre en tiempo. La tasa o ritmo se mide siempre en eventos.

La función de probabilidad acumulada es:

$$P(X\le x)=1-e^{-\lambda x}$$
Por ejemplo, la probabilidad de recibir una llamada antes de 5 minutos es $$P(X\le 5)=1-e^{-5 \lambda}$$

Su complementario es

$$P(X\gt x) = 1-P(X\le x)=1-(1-e^{-\lambda x})=e^{-\lambda x}$$

Es decir, la probabilidad de recibir una llamada después de cinco minutos es

$$P(X\gt 5)=e^{-5 \lambda}$$

Como se ha dicho, el valor esperado es

$$E[X]=\mu=\frac{1}{\lambda}$$
y la varianza
$$V[X]=\mu=\frac{1}{\lambda^2}$$

Ejemplo 1: Asumamos que en una cabina telefónica las llamadas duran una media de $\mu=10$ minutos. Si alguien llega al teléfono justo antes que usted, calcular la probabilidad de tener que esperar:
La tasa será de

$$\lambda=\frac{1}{\mu}=\frac{1}{10}=\frac{\text{1 llamada}}{\text{cada 10 minutos}}=0.1\frac{\text{llamadas}}{\text{minuto}}$$
a) Menos de cinco minutos.
$$P(X\le 5)=1-e^{-5 \frac{1}{10}}=0.39$$
b) Más de cinco minutos.
$$P(X\gt 5)=e^{-5 \frac{1}{10}}=0.61$$
c) Entre 5 y 10 minutos.
$$P(5 \le X \le 10)=1-\left[ P(X\le 5) + P(X\ge 10)\right]=0.23$$
También podríamos haber integrado la PDF entre 5 y 10.
$$P(5 \le X \le 10)=\int_{5}^{10}\frac{1}{10}e^{-\frac{1}{10} x} dx-=e^{-\frac{x}{10}}\mid_{5}^{10}=0.23$$

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